钦定四库全书

新法算书卷八十一　　　明　徐光启等　撰八线表卷上

割圆八线表用法

割圆八线表即大测表也其数之多其用之广于测量百法中皆为第一故名大测分言之则有正?数切线数割线数矢数余?数余切线数余割线数余矢数皆于割圆之一分以其相当之直线与其曲线相求而为测量推算之用故名割圆八线也其义与法畧见大测二卷中今此刻与他本小异故先述其列表法次述用法一二如左

列表法二条

一既称八线刻中何以无矢矢者?之互余相减即得也【法见后条】今所列者以一弧之正?切线割线彚为一方又以其相反相对弧【如初度之相反相对则八十九】之三线彚为一方两方平列并为同面一览可得故于初右方为弧初度顺列至四十四度皆在右方也于初左方为弧之八十九度逆列至四十五度皆在左方也初右方之上下各一横行上行顺书正弧某度下行逆书余弧【正弧反对】某度其中直列第一格为本弧之分自上而下书初【作○】至三十第二格为本弧之正?三十率各与其本分横相直也第二格书切线第三格书割线亦如之初左方之上下亦各一横行上行顺书余弧某度【度与右方之上行同】下行逆书正弧某度【度与右方之下行同】其中直列之末一格为本弧之分自下而上书三○至六○其顺列三线与右方同也次右方中第一直行为本弧之分顺书三一至六○次左方中末行逆书○至三○余同前合二面为正余各一度其六十分之各三线咸在目矣次三左右方书次度俱如前法

二大表之全数或八位或九位十位今小表止全数六位以便推算

表中用线相求法九条

一设弧背上圆线之度分秒求其相当之各正线法先查取所设度于本度各直行查所设正分于本行中横查所求某号【正?切线之数是也】其相对数即所求正数若度分外有设秒表中所无也而求各正线则用中比例法取设秒上下之两正分相减余为差以差数乘设秒数为实以全秒六十为法而一得数以加于设分下所得数并为所设度分秒数

假设三五度四十分之弧求其正?如法求本度分本号得五八三○七即是

又假设二十三度三十一分三十秒求其割线用中比例法则所设秒在三十一分三十二分之间也查本度分本号得三十一分之割线为一○九○五八三十二分之割线为一○九○七二相减余一四以三十秒乘之得四二九为实以六十为法而一得七以加三十一分之割线为一○九○六五所为求数【其比例则六十与一四若三十与七也】

二设弧之度分秒求其相当之各余线

假设二十三度三十一分之正弧求其余?查二十三度三十一分之他方同行本号下取数得九一六九四若设秒用中比列如前

三设正?等直线数求其弧之度分秒

法于本号横取所设数相合者即其相当之本度分也不合则取表中一数与设数相近而较少者以相减得差以乘六十得数为实以表中较多一近数与初近数相减得差为法而一得数以加初近数之弧度分为设数之弧度分

假设八八六八八为正?求其弧查得六十二度二十九分正为适足

又假设七六五四二为正?求弧查近且少者遇四十九度五十六分之正?七六五二九相减余一三以六十乘之得七八○为实以多少两近数相减之较一八为法而一得四十三并得四十九度五十六分四十三秒二十防【其比例则一八与六十若一三与四三三也】

四设某直线数为某弧之余某线求其弧于设数本方本号求得本线数查他方本横行得弧度分

五若圏半径为不全数【满十为全数余皆为不全数】而求某弧之各直线法以设弧先求本表本线之数【第二率】乘不全之半径【第三率】以全数【第一率】而一得所求设弧之某直线【第四率其比例则第一与二若第三与四也】

如测天句股説谓用天径一百二十一度七十五分今设二十三度三十一分之弧求其正?先于本表查本弧之正?得三九九○一【第二率】以周天半径【第三率】乘之减末五位得二四二九○○○【第四率不用而一者第一率为全数故乘讫即是也】

六求矢法求设弧之余?以减全数得正矢如设二十三度三十一分求正矢查其余?得九一六九四以减全数得○八三○六为二十三度三十一分之正矢若求余矢则以正?减全数得余矢

七有不全径之数设矢求其弧

法以全数【第三率】乘设矢以不全径【第率】一而一得数【第四率】以减全数为余?求其弧

如半径六十万【古法】为不全数设四四一为正矢求其弧法以全数乘设数得四四一○○○○○以不全径六十万而一得七三五查得七十四度三十九分为设矢之弧

八有弧求其通?以设弧之半求其正?倍之即设弧之通?

九求通?之弧以设?之半为正?查度倍之得通?之弧

表外用法八条

一有天度【三百六十五度四分之一】弧求其各直线

先以天度通为平度【三百六十度用通率表】次依前法求之如旧法问半弧背二十四度黄道矢若干先以二十四度通为平度得二十三度二十九分一十秒求矢得八四○一【第三率】以不全半径六○八七五【第三率】乘之得数减后位得五度一十一分四十一秒

二造简平仪定时线节气线用正?数倍省工力三造平浑仪等器定经纬度圏之心用切线数甚便甚凖

四造日晷用切线割线可减多圏多线倍省工力五测天量地俱以割圆八线为本【见本説】

六圆线与直线异类也亘古迄今未有相通之比例此割圆八种本是直线其原出于圆线其用之也可令异类之线相比相似所差极防故厯家推算以为津梁无能舍置也

七球面上大小圏最难得其比例因此诸线可相比相凖不失分秒

八地平上用此诸线可定诸方相距之里差可定太阳出入时刻可定昼夜长短时刻可定日月交食真防视防相距时刻【各有本论】

右用法畧举一二他用甚广各见本法中【其造法见大测诸篇】

新法算书卷八十一